アートギャラリーは入場無料ですが、アートミュージアムは入場料を徴収するところが多いです。
規模が違うため維持費が大きいことと、アートギャラリーは展示作品を販売して利益をあげているのですが、アートミュージアムは収集と保管が目的なので展示作品を販売していないからです。

つまり、民間の画商などが運営する作品販売の展示会場がアートギャラリー（画廊）で、主に公立で文化振興などを目的に作品を展示しているのがアートミュージアム（美術館）と考えてよいでしょう。
もちろん私立の美術館も多いですが、それらもコレクションの収集と保管が目的であり、販売はしていません。

「ぜひ見ていってください」のショールームがアートギャラリーで、「大切なコレクションだから見たい人は維持に協力してね」の展示施設がアートミュージアムと考えることができます。
そのように考えると、無料で絵を見ることができるアートギャラリーはお得に思えますが、美術史の教科書に載っているような有名作品などはアートミュージアムでなければ見ることができないので、どちらも大切です。

ちなみに、イギリスは国の文化振政策で、国立のミュージアムの常設展はすべて入館料が無料です。
アメリカでも一部のミュージアムは無料となっています。
あまり知られていませんが、日本の博物館法の第23条でも、公立博物館は原則として入場料などの対価を徴収してはならないと定められています。
図書館と同様に、公立の社会教育施設は無料で利用できるのが望ましいのですが、諸般の事情から現在のところそれができていない施設が多いです。

アートギャラリーとアートミュージアム（ミュージアム・オブ・アート）の違いがわかったでしょうか？
しかし、世の中にはギャラリーという名前のついた有名なミュージアム（美術館）もあるのです。
イギリスのナショナル・ギャラリー（The National Gallery）とか、アメリカのワシントン・ナショナル・ギャラリー（National Gallery of Art）などがそれにあたります。

これらは「ナショナル（国立）」と名前がついていることからもわかるように、その国でいちばんの公的な美術館です。
日本でいえば、東京国立近代美術館でしょうか。
1824年に設立されたイギリスのナショナル・ギャラリーが、ナショナル・ミュージアムにならなかった理由は、大英博物館（ブリティッシュ・ミュージアム）がすでにあって、美術品を展示する場所としては、英語ではギャラリーのほうがより一般的だったからでしょう。

もしかすると、英語ではもともと博物館がミュージアムで、美術館がギャラリーだったのかもしれません。
しかしフランス語やスペイン語などラテン系の言語では博物館も美術館もミュージアムです。
ですから、英語とフランス語の2つを公用語に持つカナダの国立美術館は、英語ではNational Gallery of Canada（ギャラリー）、フランス語ではMusée des beaux-arts du Canada（ミュージアム）と呼ばれています。ややこしいですね。
英語と同じアングロサクソン系の言語であるドイツ語でも、国立美術館はナショナル・ギャラリー（Nationalgalerie）です。